Cap, azimut, direction : pourquoi la ligne droite n'est pas droite sur la carte

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Chaque page de distance de ce site indique un cap, par exemple « 171°, sud » pour Lyon → Marseille. Le cap (ou azimut, en topographie) est l’angle entre la direction du nord géographique et la direction visée, mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre : 0° pour le nord, 90° pour l’est, 180° pour le sud, 270° pour l’ouest. Les seize directions nommées (nord, nord-nord-est, nord-est, est-nord-est, est…) découpent le tour en secteurs de 22,5° ; « sud » couvre ainsi les caps de 168,75° à 191,25°.

Le cap ne dit rien de la distance ni du relief ; c’est une pure direction. Deux communes alignées avec une troisième auront des caps identiques depuis celle-ci, à 4 km comme à 400.

Le cap change en chemin

Voilà ce qui déroute : sur la vraie ligne droite entre deux points de la sphère, l’arc de grand cercle, le cap n’est pas constant. Prenons Brest → Strasbourg, 901 km d’ouest en est. Le cap initial est de 84°, presque plein est. À l’arrivée, l’avion qui aurait suivi le grand cercle se présente au cap 93°. En cours de route, il est passé légèrement au nord de la ligne « est » de la carte : le grand cercle bombe vers le pôle.

La raison tient à la géométrie de la sphère. Les méridiens convergent vers les pôles ; une trajectoire qui coupe chaque méridien sous le même angle — un cap constant — s’appelle une loxodromie et trace une spirale vers le pôle, pas un grand cercle. Sur une carte de Mercator, la loxodromie est une droite et le grand cercle une courbe ; dans la réalité, c’est l’inverse.

Pour une distance courte ou un trajet nord-sud, la différence est invisible : sur Lyon–Marseille, le cap passe de 171,0° à 171,4°. Elle grandit avec la distance et la composante est-ouest, et avec la latitude : à Paris, un degré de longitude vaut 73 km au lieu de 111.

Orthodromie ou loxodromie : laquelle est la plus courte ?

Toujours l’orthodromie, par définition. L’écart, lui, dépend du trajet :

En France, la question ne se pose donc pas : les deux courbes se confondent. Elle devient sérieuse pour un pilote de long-courrier ou un navigateur transatlantique, qui approchent le grand cercle par une suite de segments à cap constant.

Nord géographique et nord magnétique

Le cap de ce site est rapporté au nord géographique (le pôle Nord, direction des méridiens). Une boussole indique le nord magnétique, qui s’en écarte d’un angle appelé déclinaison, variable selon le lieu et l’année. En France, la déclinaison est faible et proche de zéro depuis les années 2010 : le méridien où elle s’annule (la ligne agonique) a traversé le pays d’ouest en est ces dernières années, et elle varie aujourd’hui entre environ −1° et +3° selon les régions. Pour reporter un cap de ce site sur une boussole, l’écart est donc de l’ordre du degré, inférieur à la précision d’une boussole de poche ; pour un usage professionnel, on consultera le modèle magnétique mondial (WMM) de l’année en cours.

Un troisième nord existe sur les cartes : le nord de la carte (ou nord du quadrillage), celui des lignes verticales du quadrillage Lambert. Il diffère du nord géographique de la convergence des méridiens, jusqu’à 5° environ à la pointe de la Bretagne (le méridien central du Lambert 93 est à 3° E). Les cartes de l’IGN précisent en marge l’écart entre les trois.

Comment le cap est calculé

Pour deux points de coordonnées (φ₁, λ₁) et (φ₂, λ₂), le cap initial θ du grand cercle est :

θ = atan2( sin Δλ · cos φ₂ , cos φ₁ · sin φ₂ − sin φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ )

ramené entre 0° et 360°. Le cap d’arrivée s’obtient en calculant le cap initial du trajet inverse et en lui ajoutant 180°. Le cap du trajet retour n’est pas simplement le cap aller + 180° : de Strasbourg vers Brest, on part au cap 273°, pas 264°. C’est encore le grand cercle qui bombe.